نظریه نگاشت‌های α-هارمونیک: از هندسه دیفرانسیل تا مدل‌سازی‌های فیزیکی

کاظمی تربقان, سید مهدی; شکوهی, رضا; شهنواز, امیر

doi:10.22055/jrmbs.2025.20481

نظریه نگاشت‌های α-هارمونیک: از هندسه دیفرانسیل تا مدل‌سازی‌های فیزیکی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی کامل

نویسندگان

سید مهدی کاظمی تربقان ¹

رضا شکوهی ²

امیر شهنواز ³

¹ گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بجنورد، بجنورد، ایران

² گروه فیزیک، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بجنورد، بجنورد، ایران

³ گروه ریاضی، دانشکده علوم دریایی، دانشگاه دریانوردی و علوم دریایی چابهار، چابهار ، ایران

10.22055/jrmbs.2025.20481

چکیده

در این مقاله برای نخستین بار به معرفی نگاشت‌های α -هارمونیک با پتانسیل μ روی منیفلدهای فینسلری می‌پردازیم. در این راستا ابتدا به معرفی تابعα -انرژی و چگالی تابع انرژی پرداخته سپس با محاسبه فرمول تغییراتی اول، معادله اولر- لاگرانژ وابسته به تابعα -انرژی را بدست می آوریم و با استفاده از قضیه گرین، میدانα -تنش را معرفی می نماییم. سپس نقاط بحرانی تابعα -انرژی که به آن‌ها نگاشت هایα -هارمونیک گویند را مورد بررسی و مطالعه قرار می دهیم. سپس قضایایی در زمینه وجود و پایایی این نگاشت‌ها ارائه و مثال‌هایی از این نوع نگاشت‌ها را بیان می‌کنیم. در نهایت کاربردهای فیزیکی این نگاشت‌ها در نظریه‌های مختلف فیزیک نظیر نظریه نسبیت عام، مدل‌سازی مواد الاستیک، تحلیل بلورهای مایع، مدل‌های سیگما و دینامیک سیستم‌های مغناطیسی را بررسی می‌کنیم.

کلیدواژه‌ها

نگاشت‌های α -هارمونیک

منیفلدهای فینسلری

میدان تنش

پایایی

موضوعات

شاخه‌های میان‌رشته‌ای

عنوان مقاله English

Theory of α-Harmonic Mappings: From Differential Geometry to Physical Modeling

نویسندگان English

Seyyed mehdi Kazemi Torbaghan ¹

Reza Shokoohi ²

Amir Shahnavaz ³

¹ Department of Mathematics, Faculty of Basic Sciences, University of Bojnord, Bojnord, Iran

² Department of Physics, Faculty of Basic Sciences, University of Bojnord, Bojnord, Iran

³ Department of Mathematics, Faculty of Marine Sciences, Chabahar University of Maritime and Marine Sciences, Chabahar, Iran

چکیده English

In this paper, we introduce α-harmonic maps with potential μ on Finsler manifolds for the first time. To achieve this, we first define the α-energy functional with its energy density function. Next, we calculate the first variation formula and obtain the Euler–Lagrange equations of the α-energy functional and then subsequently define the α-tension-field tensor field using Green's theorem. We then study and analyze α-harmonic maps which are critical points of the α-energy functional. We present theorems of existence and uniqueness and several examples. In conclusion, we look at the physical applications of α-harmonic maps in environments such as general relativity, modeling elastic materials, liquid crystals, σ-models, and magnetic systems

کلیدواژه‌ها English

α-Harmonic Mappings

Finsler Manifolds

Tension Fields

Stability

[1] S. Albuquerque, V.B. Bezerra, I.P. Lobo, G. Macedo, P.H. Morais, E. Rodrigues, L.C.N. Santos, G. Varão, Quantum configuration and phase spaces: Finsler and Hamilton geometries, Physica A 5 (1) (2023) 90–115. https://doi.org/10.1016/j.physa.2022.127890

[2] F. Alouges, A new algorithm for computing liquid crystal stable configurations: the harmonic mapping case, SIAM J. Numer. Anal. 34 (5) (1997) 1708–1726. https://doi.org/10.1137/S0036142995282138

[3] J. Eells, J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Am. J. Math. 86 (1) (1964) 109–160. https://doi.org/10.2307/2373004

[4] F. Fernández Villaseñor, Lorentz-Finsler geometry and Einstein equations, PhD Thesis, Universidad de Granada, 2024.

[5] S.M. Kazemi Torbaghan, M. Mirmohammad Rezaii, F-Harmonic maps between doubly warped product manifolds, Mathematics 5 (2) (2017) 20. https://doi.org/10.3390/math5020020

[6] S.M. Kazemi Torbaghan, K. Salehi, S. Babayi, Existence and Stability of α−Harmonic Maps, J. Math. 2022 (2022) 1906905. https://doi.org/10.1155/2022/1906905

[7] M. Krynski, M. Rossi, Efficient Gaussian process regression for prediction of molecular crystals harmonic free energies, npj Comput. Mater. 7 (1) (2021) 169. https://doi.org/10.1038/s41524-021-00610-z

[8] Y. Mei, P. Yu, Mapping heterogeneous elastic property distribution of soft tissues using harmonic motion data: A theoretical study, Math. Probl. Eng. 2018 (2018) 9131340. https://doi.org/10.1155/2018/9131340

[9] C.W. Misner, Harmonic maps as models for physical theories, Phys. Rev. D 18 (12) (1978) 4510. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.18.4510

[10] X. Mo, Harmonic maps from Finsler manifolds, Ill. J. Math. 45 (4) (2001) 1331–1345. https://doi.org/10.1215/ijm/1258138155

[11] X. Mo, An Introduction to Finsler Geometry, vol. 1, World Scientific, Singaore,

2006.

[12] X. Mo, Y. Yang, The existence of harmonic maps from Finsler manifolds to Riemannian manifolds, Sci. China Ser. A 48 (2005) 115–130. https://doi.org/10.1360/04ys0074

[13] K.O. Nikolaev, S.R. Lake, G. Schmidt, S.O. Demokritov, V.E. Demidov, Resonant generation of propagating second-harmonic spin waves in nano-waveguides, Nat. Commun. 15 (1) (2024) 1827. https://doi.org/10.1038/s41467-024-46066-7

[14] L.L. Nguyen, Singular harmonic maps into hyperbolic spaces and applications to general relativity, PhD Thesis, Rutgers The State University of New Jersey, School of Graduate Studies, 2009.

[15] G. Ren, Y.S. Duan, Extended theory of harmonic maps connects general relativity to chaos and quantum mechanism, Chaos Solitons Fractals 103 (2017) 567–570. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2017.07.004

[16] J. Sacks, K. Uhlenbeck, The existence of minimal immersions of 2-spheres, Ann. Math. 113 (1) (1981) 1–24. https://doi.org/10.2307/1971131

[17] A. Shahnavaz, N. Kouhestani, S.M. Kazemi Torbaghan, The Morse Index of Sacks–Uhlenbeck α‐Harmonic Maps for Riemannian Manifolds, J. Math. 2024 (2024) 2692876. https://doi.org/10.1155/2024/2692876

[18] P. Stavrinos, S.I. Vacaru, Broken Scale Invariance, Gravity Mass, and Dark Energy in Modified Einstein Gravity with Two Measure Finsler Like Variables, Universe 7 (4) (2021) 89. https://doi.org/10.3390/universe7040089

[19] C. Sun, J. Kim, J. You, J.W. Jeong, Y. Heo, Y. Kim, Exploring higher-order harmonic eddy current in soft magnetic composites, J. Alloys Compd. 1003 (2024) 175641. https://doi.org/10.1016/j.jallcom.2024.175641

[20] A. Tomasiello, Higher spins and Finsler geometry, J. High Energy Phys. 2024 (10) (2024) 1–32. https://doi.org/10.1007/JHEP10(2024)012

[21] T.M. Tierney, Z. Seedat, K. St Pier, S. Mellor, G.R. Barnes, Adaptive multipole models of optically pumped magnetometer data, Ann. N. Y. Acad. Sci. 45 (4) (2024) e26596. https://doi.org/10.1111/nyas.14987

[22] S.M.K. Torbaghan, M.M. Rezaii, Warped products, Biharmonic and semi-conformal maps, Math. Rep. 21 (4) (2019) 441–459.

[23] G.F. Wang, P. Schiavone, C.Q. Ru, Harmonic shapes in finite elasticity, Math. Mech. Solids 12 (5) (2007) 502–512. https://doi.org/10.1177/1081286506067097

[24] İ. Yurdusen, Explicit examples of constant curvature surfaces in the supersymmetric CP² sigma model, Turk. J. Math. 46 (6) (2022) 2485–2499. https://doi.org/10.3906/mat-2203-52